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2021泰安社会招警考试行测备考指导：用均值不等式来解决极值问题

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，即几何平均数不超过算术平均数。用公式表示为： 。两数之和为定值，当两数发生变化时，乘积也会改变，两数之积就存在最大值，当且仅当两数相等时乘积能取到最大值。即和定差小积最大。

这个不等式在考试中具体如何考察，又如何运用呢?现在通过一个题目来帮助大家运用这个知识解题。

例：某旅行社组团去外地旅游，30人起成团，每人单价800元。旅行社为吸引报团，针对30人以上的团队给与优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。当旅行社的人数是多少时，旅行社可以获得最大利润?

A、40人 B、45人 C、50人 D、55人

答案：D。

【中公解析】：设旅行团的人数比30多了X人，旅行社可以获得利润为Y元。则根据题意可以列出函数关系式为： 对于一元二次函数的求极值的方法，形如 Y能取到极值。将函数解析式整理之后为： Y能取到最大值了，此时旅行社的总人数为30+25=55，所以选择D。

下面我们用均值不等式来解决这题。

可以看出Y是由两数相乘所得，但是这两个数的和不为定值，无法直接使用均值不等式来求解，我们只要构造出两数和为定值就可以。把 变形为 此时两个括号里的数和为定值110，只要让两数相等就能求出Y的最大值，即 解得X=25，答案为30+25=55，所以选择D。

下面通过练习一题来巩固一下这个方法。

例：将进货单价为90元的某商品按100元一个出售时，能卖出500个。已知这种商品如果每个涨价1元，其销售量就会减少10个，为了获得最大利润，售价应定为多少?

A、110元 B、120元 C、130元 D、150元

答案：B。

【中公解析】：设在100元的基础上涨价X元，总利润为Y元。根据题意函数关系为： 由均值不等式解题，可得当 则售价为100+20=120元，所以选择B。

均值不等式解题，方法易学，计算简单，基本都是口算的程度，能够帮助提升做题的速度。