山东公务员

行测容斥问题相对来说是比较容易得分的考点，其本质是研究集合间的交叉关系。不少学员仍对容斥问题的本质不理解，对其公式的应用不熟练，对画图分析不全面，今天中公教育就带着大家一起深挖一下容斥问题。

一、知识铺垫

容斥问题研究的是集合之间的交叉关系，对于容斥问题的解题原则，中公教育总结了四个字：“不重不漏”，即“每个区域的元素只算一次”。

如图(1)所示，涉及A、B两个集合之间的交叉关系，即二者容斥问题，其中：I代表全集;①代表只具备A的属性的元素个数;②即A∩B代表既具备A的属性又具备B的属性的元素个数;③代表只具备B的属性的元素个数;M代表既不具备A的属性又不具备B的属性的元素个数。“不重不漏”就是把①、②、③及M四个区域各算一次。

总结为公式：

如图(2)所示，涉及A、B、C三个集合之间的交叉关系，即三者容斥问题，其中：I代表全集;①代表只具备A的属性的元素个数;②代表只具备B的属性的元素个数;③代表只具备C的属性的元素个数;④代表同时具备A和B的属性但不具备C的属性的元素个数;⑤代表同时具备A和C的属性但不具备B的属性的元素个数;⑥代表同时具备B和C的属性但不具备A的属性的元素个数;⑦即A∩B∩C代表同时具备A、B、C的属性的元素个数;M代表A、B、C的属性都不具备的元素个数。“不重不漏”就是把①-⑦及M八个区域各算一次。总结为公式：

I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+M

I=A+B+C-(④+⑤+⑥)-2A∩B∩C+M(其中：④+⑤+⑥代表只具备两种集合属性的元素个数之和)

即I=A+B+C-只属于二者交集-2×只属于三者交集+M

接下来我们通过两道例题深入理解。

二、例题展示

【例题1】工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：

A.20% B.30% C.40% D.50%

【答案】C

【中公解析】设两天的活动都报名参加的人数为x，则只报名参加周日活动的人数为2x，由“报名参加周日活动的人数等于两天的活动都报名参加的人数与只报名参加周日活动的人数之和”，可得报名参加周日活动的人数为3x，根据“报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1”，可得报名参加周六活动的人数为6x，从而只报名参加周六活动的人数为5x，那么报名参加活动的总人数为：2x+5x+x=8x，由于“有80%的职工报名参加”，所以工厂职工总数为：8x÷80%=10x，那么未报名参加活动的人数为：10x-8x=2x，所求是：2x÷5x=40%。故答案选C。

【例题2】有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目?

A.7 B.10 C.15 D.20

【答案】B

【中公解析】根据“有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项”可知这100人中没有不参加运动会的人，由“其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人”可分别得出：参加跳远的有50人，参加跳高的有40人，参加赛跑的有30人。设只参加两项的有x人，参加三项的有y人，根据三者容斥公式可得：50+40+30-x-2y+0=100，解得x+2y=20。所求为：“至少有多少人参加了不止一个项目”，即求的是x+y的最小值。由x+y=20-y，可知要想求出x+y的最小值，就要使y尽可能大，当x为0时，y取最大值为10，所以求出x+y的最小值是：20-10=10。故答案选B。

希望各位同学多加练习此类题目，中公教育与大家携手同行，更多解题方法和技巧请持续关注中公教育。